Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

Сферический треугольникНа поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника  называют те углы  между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лу­чами.

 

Свойства сферических треу­гольников.

Каждая сторона и угол сфери­ческого треугольника по определению мень­ше 180°. Геометрия на поверхности шара являет­ся неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треуголь­нике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

  •   тремя сторонами,
  •   тремя углами,
  •   двумя сторонами и заключенным между ними углом,
  •   стороной и двумя прилежащими к ней углами.

 

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Случай

Даны

Формулы для вычисления

Условия существования решения

1

Три стороны

а, Ь, с

А, В, С из (8) и циклической перестановки

mat 02 06

Сумма двух сторон должна быть больше третьей

2

Три угла

А, В, С

а, Ь, с из (8) и циклической перестановки

mat 02 07

Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол

3

Две стороны и заключенный между ними угол

b, с, А

mat 02 08

из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4)

 
4

Два угла и заключенная между ними сторона

В, С, а

mat 02 09

из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)

 
5

Две стороны и противолежащий одной из них угол

Ь, с, В

С из (3); А и а из (6)

Задача имеет одно или два решения, если

sin с sin В ≤ sin b.

Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак;

A + B — 180°

и а + b — 180°

также должны быть одного знака

6

Два угла и противолежащая одному из них сторона

В, С, b

с из (3); А и а из (6)

Задача имеет одно или два решения, если

sin b sin С ≤ sin В.

Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак;

A + В - 180°

и а + Ь - 180°

также должны быть одного знака


Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вы­числять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

mat 02 02

теорема синусов 

(1)

 

mat 02 03

теорема косинусов для сторон

(2)

 

mat 02 04

теорема косинусов для углов

(3)

 

mat 02 05

аналогии Непера

(4)

 

mat 02 10

аналогии Деламбра и Гаусса

(5)

 

mat 02 11

формулы половинных углов

(6)

 

mat 02 12

 

(7)

 

mat 02 13

 

(8)

 

mat 02 14

уравнение Люилье

(9)

 

mat 02 15

mat 02 16

mat 02 17

Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции

(10)

 

 

 

mat 02 17

mat 02 18

mat 02 19

Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сфе­рических треугольников можно использовать эти формулы:

(11)

 

Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 3.50 [3 Голоса (ов)]

Поделитесь ссылкой с друзьями:


Подписываемся !!!

Комментарии:

comments powered by HyperComments

библиотеки Яндекс.Метрика