Криволинейный и поверхностный интегралы 1 и 2 рода определение, геометрический и физический смысл

Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода

Определение и обозначение интеграла

Геометрический и физический смысл

Криволинейный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y) по кривой (L) :

Криволинейный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y)

где Δlk(k = 1,n) - длины дуг, на которые разбита кривая;

δ -наибольшая из длин дуг;

k, ηk) -произвольная точка на k-м участке.

mat 09 44

Если р=р(х,у) - плотность неоднородной материальной кривой L,

mat 09 45масса плоской кривой,

mat 09 46 длина плоской кривой L.

Если у = ƒ(x,y) - направляющая цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси OZ, то

  mat 09 47- площадь L поверхности, задаваемой функцией у = ƒ(x,y)

mat 09 48

Поверхностный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y,z) по поверхности:

Поверхностный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y,z)

где Δσk(k = 1,n) - площади участков, на которые разбита поверхность σ;

δ — наибольший из диаметров участков;

k, ηk, ξk) -произвольная точка на k-м участке

Если р = р(х, у, z) - плотность распределения массы материальной поверхности σ,

mat 09 50масса поверхности.

mat 09 51

mat 09 52площадь поверхности σ

 

Замечание. Свойства криволинейного и поверхностного интегралов 1 рода аналогичны.

Свойства

Формула

Аддитивность по функции

mat 09 53

Аддитивность по области интегрирования

mat 09 54

где путь интегрирования L= Цд>Ь2

Однородность

mat 09 55

Теорема о среднем

mat 09 56

Интегрирование неравенств

mat 09 57

Интеграл по модулю

mat 09 58

Незваисимость интеграла от направления пути интегрирования

mat 09 59

 

Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода (по координатам)

Определение и обозначение интеграла 2 рода

Геометрический и физический смысл

Криволинейный интеграл 2 рода от векторной функции

mat 09 81

Криволинейный интеграл 2 рода

где Δxk - проекция элементарной дуги Δlk на ось ОХ;

Δyk - проекция элементарной дуги Δlk на ось OY;

k, ηk) - произвольная точка на k-м участке.

mat 09 83

mat 09 84

mat 09 97 -  криволинейный интеграл по замкнутой кривой L

mat 09 85-

вектор силы, перемещающей точку по кривой L,

mat 09 86 -

- работа переменной силы по перемещению точки вдоль кривой,

mat 09 87

mat 09 88

- площадь области D, где δD - граница области D

Поверхностный интеграл 2 рода от векторной функции

mat 09 89

по поверхности:

Поверхностный интеграл 2 рода

- единичный вектор нормали к Δσi;

mat 09 91

  mat 09 92

- интеграл по замкнутой a поверхности a

Если

mat 09 93

- вектор скорости потока жидкости, протекающей через двустороннюю поверхность σ, одна из сторон которой выбрана для построения нормалей,

mat 09 94

- поток a жидкости через выбранную сторону поверхности σ

mat 09 95

 

Замечание. Свойства аддитивности и однородности криволинейного и поверхностного интегралов 2 рода аналогичны.

Свойства криволинейного и поверхностного интегралов 2 рода



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 [1 Голос]

Поделитесь ссылкой с друзьями:


Подписываемся !!!

Комментарии:

comments powered by HyperComments

библиотеки Яндекс.Метрика