Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 1 и 2 рода (Таблица)

Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 1 рода

Формулы

Пример

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

1. Параметрическое представление кривой интегрирования:

mat 09 66

 Параметрическое представление кривой интегрирования

2. Явное представление кривой интегрирования:

mat 09 68

Явное представление кривой интегрирования

3. Полярное представление кривой интегрирования:

mat 09 70

Полярное представление кривой интегрирования

Вычислить

mat 09 72

где L - отрезок прямой между точками О(0;0) и А(4;3).

Решение

Уравнение прямой ОА есть

mat 09 73

Кривая задана явно.

mat 09 75

mat 09 76

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Если поверхность σ задана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

mat 09 78

Вычислить

mat 09 79

где σ - часть плоскости 4x + 3y + 2z - 4 = 0, расположенной в первом октанте.

Решение

Запишем уравнение плоскости в виде

mat 09 80

 

Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 2 рода

Формулы

П р и м е р

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Параметрическое представление кривой интегрирования x=x(t), y=y(t), t∈[t1, t2]

mat 09 98

Найти работу силы

mat 09 101

где L - контур ΔОВА, пробегаемый в положительном направлении, и A(3,6), B(0,6), O(0,0)

mat 09 102

Р е ш е н и е: По свойству аддитивности:

mat 09 103

mat 09 104

Проверим полученный результат, используя формулу Грина. Имеем замкнутый контур - треугольник ОВА.

mat 09 105

Явное представление кривой интегрирования y=y(x), x∈[a,b]

mat 09 99

mat 09 100
Вычисление поверхностного интеграла 2 рода

mat 09 106

Если поверхность oзадана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то

Вычисление поверхностного интеграла 2 рода

где Dxy, - проекция поверхности oна OXY. Знак плюс или минус перед двойным интегралом берется в зависимости от ориентации поверхности σ (cos у будет положительным или отрицательным).

проекция поверхности oна OXY

Аналогично:

mat 09 109

Вычислить

mat 09 110

А) По верхней стороне части плоскости 2x-3y+z=6, лежащей в IV октанте.

Б) По внешней стороне пирамиды, ограниченной плоскостями 2x-3y+z=6, x=0, y=0, z=0.

Р е ш е н и е

mat 09 111

А) Нормаль : n=(2;-3;1), соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью OY тупой угол, а осями OX и OZ - острые углы.

mat 09 112

Б) По формуле Стокса имеем:

mat 09 113



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 [2 Голоса (ов)]

Поделитесь ссылкой с друзьями:


Подписываемся !!!

Комментарии:

comments powered by HyperComments

библиотеки Яндекс.Метрика