Степенные ряды - определение, свойства и основные понятия (Таблица)

Основные понятия

Определение

Понятие степенного ряда

mat 11 30

степенной ряд, разложенный по степеням (х - х0), где постоянные а0, а1, ..., аn, ..., - коэффициенты ряда; х ∈ R - действительная переменная; х0— некоторое постоянное число

Сходимость степенных рядов

Область сходимости - множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток (х0—R, х0+R), дополненный, быть может, его концами.

Число R - радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R=∞ . Радиус сходимости определяют по формуле:

mat 11 31

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда - непрерывная функция в интервале сходимости (х0—R, х0+R)

2. Степенные ряды mat 11 32внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

mat 11 33

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать: 

mat 11 34

5.   mat 11 35

Виды степенных рядов

Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:

mat 11 36

Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при

mat 11 37

Сходимость функции к ряду Тейлора

Представим функцию в виде: mat 11 38

mat 11 39

mat 11 40- остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции mat 11 41



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Рейтинг 5.00 [1 Голос]

Поделитесь ссылкой с друзьями:


Подписываемся !!!

Комментарии:

comments powered by HyperComments

библиотеки Яндекс.Метрика