Сферические треугольники решение и формулы (Таблица)

Сферические треугольники.

Сферический треугольник На поверхности шара кратчайшее расстояние между двумя точками измеряется вдоль окружности большого круга, т. е. окружности, плоскость которой проходит через центр шара. Вершины сферического треугольника являются точками пересечения трех лучей, выходящих из центра шара, и сферической поверхности. Сторонами а, b, с сферического треугольника называют те углы между лучами, которые меньше 180°. Каждой стороне треугольникасоответствует дуга большого круга на поверхности шара (рис. 1). Углы A, В, С сферического треугольника, противолежащие сторонам а, b, с соответственно, представляют собой, по определению, меньшие, чем 180°, углы между дугами больших кругов, соответствующими сторонам треугольника, или углы между плоскостями, определяемыми данными лучами.

Свойства сферических треугольников.

Каждая сторона и угол сферического треугольника по определению меньше 180°. Геометрия на поверхности шара является неевклидовой; в каждом сферическом треугольнике сумма сторон заключена между 0 и 360°, сумма углов заключена между 180° и 540°. В каждом сферическом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Сумма любых двух сторон больше третьей стороны, сумма любых двух углов меньше, чем 180° плюс третий угол.

Сферический треугольник единственным образом определяется (с точностью до преобразования симметрии):

тремя сторонами,
тремя углами,
двумя сторонами и заключенным между ними углом,
стороной и двумя прилежащими к ней углами.

Решение сферических треугольников (Таблица)

(смотрите формулы ниже и рис. 1 выше)

Случай	Даны	Формулы для вычисления	Условия существования решения
1	Три стороны а, Ь, с	А, В, С из (8) и циклической перестановки	Сумма двух сторон должна быть больше третьей
2	Три угла А, В, С	а, Ь, с из (8) и циклической перестановки	Сумма двух углов должна быть меньше 180° плюс третий угол
3	Две стороны и заключенный между ними угол b, с, А	из (6), затем В и С; а из (7), (8) или (4)
4	Два угла и заключенная между ними сторона В, С, а	из (6), затем b и с; А из (7), (8) или (5)
5	Две стороны и противолежащий одной из них угол Ь, с, В	С из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin с sin В ≤ sin b. Сохраняются те из величин с, для которых А — В и а — b имеют одинаковый знак; A + B — 180° и а + b — 180° также должны быть одного знака
6	Два угла и противолежащая одному из них сторона В, С, b	с из (3); А и а из (6)	Задача имеет одно или два решения, если sin b sin С ≤ sin В. Сохраняются те из величин с, для которых A — В и а — b имеют одинаковый знак; A + В - 180° и а + Ь - 180° также должны быть одного знака

Формулы для решения сферических треугольников

В следующих ниже соотношениях А, В, С являются углами, противолежащими соответственно сторонам а, b, с сферического треугольника. «Радиусы» описанного и вписанного конусов обозначены соответственно через г и р. Формулы, не включенные в перечень, могут быть получены одновременной циклической перестановкой А, В, С и а, Ь, с. Таблица выше позволяет вычислять стороны и углы любого сферического треугольника потрем подходящим образом заданным сторонам и/или углам. Неравенства, отмеченные в начале п. 2, должны быть приняты во внимание, для того чтобы исключить посторонние результаты при решении треугольников.

	теорема синусов	(1)

	теорема косинусов для сторон	(2)

	теорема косинусов для углов	(3)

	аналогии Непера	(4)

	аналогии Деламбра и Гаусса	(5)

	формулы половинных углов	(6)

		(7)

		(8)

	уравнение Люилье	(9)

	Некоторые тригонометрические соотношения становятся особенно удобными для вычислений с помощью логарифмов, если в них использованы новые тригонометрические функции	(10)

	Таким образом, если имеются в наличии таблицы функции hav, то для решения сферических треугольников можно использовать эти формулы:	(11)
Другие аналогичные соотношения можно получить циклической перестановкой