Функция, способы ее задания и свойства
Если каждому элементу множества X (х ∈ Х) ставится в соответствие вполне определенный элемент Y (у ∈ Y), то говорят, что на множестве X задана функция у = ƒ(x). Переменная х - независимая переменная или аргумент. Множество X - область определения функции (D(ƒ)), множество Y - область значений функции (Е(ƒ)).
|
Способы задания функции |
Определение |
Пример |
||||||||||
|
Аналитический |
В виде формулы |
у = lg(x + 3), D(ƒ) = {х : х > —3} |
||||||||||
|
Табличный |
|
|
||||||||||
|
Графический |
В виде графика - множества точек (х, у) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента х, а ординаты - соответствующие им значения функции y=ƒ(x) |
|
||||||||||
Пусть для ∀x1x2 ∈ D(ƒ) ⇒ ƒ(х1) ≠ ƒ(х2). Тогда для ∀y ∈ E(ƒ) ∃ одно значение х = g(y) ∈ D(ƒ): у = ƒ(х). Функция х = ƒ-1(y) = g(y), определенная на E(ƒ), называется обратной для функции у = ƒ(х).
Обозначим аргумент обратной функции через х, а функцию через у: y = g(x). Графики взаимно-обратных функций у = ƒ(х) и y = g(x) симметричны относительно прямой у = х.
Пример: у = х2 имеет обратную функцию у = √х при х > 0.
|
Свойства функции |
Определение |
|
Четность |
Если ∀ х ∈ X ⇒ ƒ(—х) = ƒ(x), то ƒ(x) четная и ее график симметричен относительно оси OY, если ƒ(—х) = — ƒ(х), то ƒ(x) нечетная и ее график симметричен относительно О(0,0) |
|
Монотонность |
Если ∀ x1 > х2 ∈ X ⇒ ƒ(х1) > ƒ(x2)(ƒ(x1) < ƒ(х2 )), то ƒ(x) строго возрастает (строго убывает) на X |
|
Ограниченность |
Если ∃ М>0: ∀ х ∈ X ⇒ |ƒ(x)| ≤ М, то ƒ(x) ограничена на Х |
|
Периодичность |
Если ∀ х ∈ X ⇒ ƒ(x + T) = ƒ(x), то ƒ(x) периодическая с периодом Т |
