Понятие производной и основные правила дифференцирования

Понятие производной

Производная функции (в точке) — это понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).

   - - правая производная

  - - левая производная

      Критерий ∃ производной:  

Геометрический смысл производной: у'(х0) = tgα. y - y0 = y'(х0)(x - x0) - уравнение касательной к графику функции y = ƒ(x) в точке М(х0,у0). Механический смысл производной:    s'(t)=v(t) v'(t)=a(t), где s(t) -пройденный путь; v(t) - скорость; a(t) - ускорение.

Основные правила дифференцирования

1)    С = 0, С - cons t;

2)    (u±v)' =u'±v', u(х), v(x) - дифференцируемые функции;

3)    (u - v) = u' · v + u · v’, С · u = (С · u)';

4)

5) дифференцирование сложной функции: если у = ƒ(u), где u = φ(х), то y'_x=ƒ'_u · u'_x;

6) дифференцирование обратной функции:  

Пример: у = ln(х³ - Зх²)