Исследование функции на экстремум, необходимое и достаточные условия
Исследование функции на экстремум
 |
х0 - точка локального максимума, если ƒ(x) < ƒ(x0) ∀x ∈ [a,b] |
 |
х0 - точка локального минимума, если ƒ(x) > ƒ(x0) ∀x ∈ [a,b] |
Необходимое условие существования экстремума
Если х = х0 - точка локального экстремума, то в этой точке производная функции либо равна нулю (ƒ'(x0) = 0), либо не существует.
Достаточные условия существования экстремума
Пусть x0 ∈ D(ƒ) - критическая точка 1 рода, т.е. в этой точке ƒ'(x0) = 0 или не существует.
| Знак производной ƒ(x0) в окрестности точки x0 |
Вид графика в окрестности точки (x0, ƒ(x0)) |
Вывод |
|
|
x < x0 |
x > x0 |
||
|
+ |
- |
|
x = x0 — точка максимума |
|
- |
+ |
|
x = x0 — точка минимума |
|
+ |
+ |
|
x = x0 — не является точкой экстремума, функция возрастает |
|
- |
- |
|
x = x0 — не является точкой экстремума, функция убывает |
