Определение двойного и тройного интеграла, их свойства, геометрический и физический смысл (Таблица)

Двойной интеграл от функции ƒ(x,y) по плоской области (D):

где   Δσ_k (k=1,n) - площади участков, на которые разбита область D; 

δ - наибольший из диаметров участков;

(ζ_k,η_k) - произвольная точка на k-м участке;

dσ = dxdy - элемент площади

Если z = ƒ(x,y) - уравнение поверхности, ограничивающей цилиндроид сверху, то

   - объем цилиндроида.

Если p = p(x,y) - плотность неоднородной плоской пластины D,

Тройной интеграл от функции ƒ(x,y,z) по объему V:

где Δv_k (k=1,n) - объемы элементарных областей;

  (ζ_k,η_k,ξ_k)-произвольная точка на k-м элементарном объеме;

dv = dxdydz - элемент объема

Если p = p(x,y,z) - плотность неоднородного тела V, то

Аддитивность по функции

Аддитивность по области интегрирования

если область D = D₁ ∪ D₂

Однородность

Теорема о среднем

где S - площадь D

Интегрирование неравенств

Оценка интеграла

Интеграл по модулю