Скалярное поле определение, характеристики и градиент (Таблица)

Определение поля

Скалярное поле - часть пространства, в каждой точке M(x,y,z) которого задана скалярная функция u=ƒ(х,у,z)

Найти производную функции u=3х²+5у² в точке A(1,-1) по направлению к точке B(2,1). Определить величину и направление максимального роста данной функции в точке А.

Решение

Функция в направлении вектора АВ убывает. Градиент указывает направление, в котором функция растет быстрее, чем по другим направлениям.

Максимальный рост в точке А соответствует длине вектора градиента:

Геометрические характеристики скалярного поля

Поверхность (линия) уровня скалярного поля есть геометрическое место точек, в которых функция принимает постоянное значение, т.е u(М)=с.

Для плоского поля u=ƒ(x,y) линия уровня ƒ(х,у)=с, для пространственного поля u=ƒ(x,y,z) поверхность уровня ƒ(x,y, z)=с

Производная функции u=ƒ(x,y,z) по направлению вектора s

Градиент функции u=ƒ(x,y,z)

Связь между характеристиками