Определение векторного поля, его характеристики, понятия, формулы и примеры (Таблица)

Определе­ние поля

Векторное поле - часть пространства, в каждой точке M(x,y,z) которого задана векторная функция

Для плоского поля

Поле линейных скоростей вращающегося тела имеет вид:

Найти:

А) векторные линии поля;

Б) дивергенцию поля;

В) циркуляцию вектора поля;

Г) ротор поля.

Решение

А) Имеем плоское векторное поле:

Интегрируем:

T.o., векторные ли­нии - окружности с центрами на оси OZ, лежащие в плоскос­тях, перпендикуляр­ных к этой оси

Б)

В) Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси OZ.

площадь поверхности, ограниченной кривой L.

Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол γ с осью OZ,    то циркуляция

C=2w·S·cosγ

Ротор поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости. С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела

Геометрические характерис­тики

Векторные линии - кривые, в каждой точке которых вектор поля направлен по касательной:

Векторная трубка - поверхность, образованная векторными линиями

Поток вектора через поверх­ность σ

Поток вектора α через поверхность σ - интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности:

Диверген­ция векторного поля

Дивергенция вектора α - скаляр, равный объемной плотности потока в рассматриваемой точке поля:

где σ - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V; n° - орт ее внешней нормали; объем V->0 стягивается к рассматриваемой точке.

Расчетная формула:

Связь между характерис­тиками

Векторная формулировка теоремы Гаусса - Остроградского:

Циркуляция векторного поля

Пусть

- радиус-вектор точки М на контуре L.

Циркуляция вектора α вдоль L -криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора α на вектор dr, касательный к контуру L.

Физический смысл

— работа силы F(M) поля при перемещении материальной точки вдоль замкнутого контура L

Ротор векторного поля

Ротор поля rot α — вектор, проекция которого на любое направление n равна поверхностной плотности циркуляции по контуру площадки, перпендикулярной к этому направлению.

где σ - поверхность, натянутая на замкнутый контур L; n° - орт нормали к поверхности, направленный в ту сторону поверхности, с которой обход контура L виден совершающимся против часовой стрелки.

Расчетная формула:

Связь между характеристиками

 Векторная формулировка теоремы Стокса: