Степенные ряды - определение, свойства и основные понятия (Таблица)

Понятие степенного ряда

степенной ряд, разложенный по степеням (х - х₀), где постоянные а₀, а₁, ..., а_n, ..., - коэффициенты ряда; х ∈ R - действительная переменная; х₀— некоторое постоянное число

Сходимость степенных рядов

Область сходимости - множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток (х₀—R, х₀+R), дополненный, быть может, его концами.

Число R - радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R=∞ . Радиус сходимости определяют по формуле:

Свойства степенных рядов

1. Сумма степенного ряда - непрерывная функция в интервале сходимости (х₀—R, х₀+R)

2. Степенные ряды внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать: 

5.  

Виды степенных рядов

Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:

Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при

Сходимость функции к ряду Тейлора

Представим функцию в виде:

- остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции