Криволинейный и поверхностный интегралы 1 и 2 рода определение, геометрический и физический смысл

Криволинейный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y) по кривой (L) :

где Δl_k(k = 1,n) - длины дуг, на которые разбита кривая;

δ -наибольшая из длин дуг;

(ς_k, η_k) -произвольная точка на k-м участке.

Если р=р(х,у) - плотность неоднородной материальной кривой L,

масса плоской кривой,

 длина плоской кривой L.

Если у = ƒ(x,y) - направляющая цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна оси OZ, то

  - площадь L поверхности, задаваемой функцией у = ƒ(x,y)

Поверхностный интеграл 1 рода от функции ƒ(x,y,z) по поверхности:

где Δσ_k(k = 1,n) - площади участков, на которые разбита поверхность σ;

δ — наибольший из диаметров участков;

(ς_k, η_k, ξ_k) -произвольная точка на k-м участке

Если р = р(х, у, z) - плотность распределения массы материальной поверхности σ,

масса поверхности.

площадь поверхности σ

Аддитивность по функции

Аддитивность по области интегрирования

где путь интегрирования L= Цд>Ь₂

Однородность

Теорема о среднем

Интегрирование неравенств

Интеграл по модулю

Незваисимость интеграла от направления пути интегрирования

Криволинейный интеграл 2 рода от векторной функции

где Δx_k - проекция элементарной дуги Δl_k на ось ОХ;

Δy_k - проекция элементарной дуги Δl_k на ось OY;

(ζ_k, η_k) - произвольная точка на k-м участке.

-  криволинейный интеграл по замкнутой кривой L

-

вектор силы, перемещающей точку по кривой L,

-

- работа переменной силы по перемещению точки вдоль кривой,

- площадь области D, где δD - граница области D

Поверхностный интеграл 2 рода от векторной функции

по поверхности:

- единичный вектор нормали к Δσ_i;

- интеграл по замкнутой a поверхности a

Если

- вектор скорости потока жидкости, протекающей через двустороннюю поверхность σ, одна из сторон которой выбрана для построения нормалей,

- поток a жидкости через выбранную сторону поверхности σ