Вычисление криволинейного и поверхностного интеграла 1 и 2 рода (Таблица)

Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

1. Параметрическое представление кривой интегрирования:

2. Явное представление кривой интегрирования:

3. Полярное представление кривой интегрирования:

Вычислить

где L - отрезок прямой между точками О(0;0) и А(4;3).

Решение

Уравнение прямой ОА есть

Кривая задана явно.

Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Если поверхность σ задана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то

Вычислить

где σ - часть плоскости 4x + 3y + 2z - 4 = 0, расположенной в первом октанте.

Решение

Запишем уравнение плоскости в виде

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода

Параметрическое представление кривой интегрирования x=x(t), y=y(t), t∈[t₁, t₂]

Найти работу силы

где L - контур ΔОВА, пробегаемый в положительном направлении, и A(3,6), B(0,6), O(0,0)

Р е ш е н и е: По свойству аддитивности:

Проверим полученный результат, используя формулу Грина. Имеем замкнутый контур - треугольник ОВА.

Явное представление кривой интегрирования y=y(x), x∈[a,b]

Вычисление поверхностного интеграла 2 рода

Если поверхность oзадана на области D плоскости OXY функцией z=z(x,y), то

где D_xy, - проекция поверхности oна OXY. Знак плюс или минус перед двойным интегралом берется в зависимости от ориентации поверхности σ (cos у будет положительным или отрицательным).

Аналогично:

Вычислить

А) По верхней стороне части плоскости 2x-3y+z=6, лежащей в IV октанте.

Б) По внешней стороне пирамиды, ограниченной плоскостями 2x-3y+z=6, x=0, y=0, z=0.

Р е ш е н и е

А) Нормаль : n=(2;-3;1), соответствующая указанной стороне поверхности, образует с осью OY тупой угол, а осями OX и OZ - острые углы.

Б) По формуле Стокса имеем: